El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desalojan». Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquimedes, y se mide en Newtons (en el SIU). El principio de Arquímedes se formula así:

Donde E es el empuje , ρ_f es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleracion de la gravedad y m la masa, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado ) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.

como se aplica el principio de Arquimides en un sudmarino.

Un objeto flota en un fluido (o sea el submarino flota en el agua) si el volumen del fluido que desplaza pesa más que el objeto. Digamos, si tu submarino tiene 10 metros cúbicos de volumen, y pesa 9 toneladas, podrá sumergirse solamente si pesa más de lo que pesarían los 10m3 de agua. Un m3 de agua pesa aprox 10 toneladas - por lo tanto, según el principio de Arquímedes, se podrá sumergir solamente si pesa más de 10 toneladas.
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Para que pese "más" dejan que entre agua a unos compartimentos especiales aislados de la cabina de tripulantes. Y si quieren sacarlo a la superficie, deben sacar esa agua (con bombas, o aire comprimido etc)

¿Cuál es la relación entre la presión en un líquido y la profundidad de éste?

A mayor densidad mayor presión, un litro de agua va a ejercer menor presión sobre el recipiente que un litro de mercurio. y la relación presión profundidad es a mayor profundidad mayor presión.